补码系统设计的数学表达
补码（Two’s Complement）是计算机中表示有符号整数的标准方式，其设计目标是：
统一加减法运算：让正数和负数的加法直接用硬件加法器处理，无需额外的减法逻辑。
避免零的歧义：确保零只有一种表示（而不是正零和负零）。
最大化表示范围：在固定位数下尽可能多地表示不同数值。
基于这种设计，能简化硬件电路地实现，只需寄存器、NOT 门（取反）、加法器（加 1）、ALU（算术逻辑单元）即可实现计算。
基于补码系统的设计目标，可以得到补码系统的数学目标：
- 无缝加法：正数和负数的加法应直接用二进制加法，不需要额外处理符号或绝对值。
- 单一 0 表示：0 只有一个二进制表示，避免 +0 和 -0 的歧义。
- 最大范围：在 n 位中表示尽可能多的数值（共 \(2^n\) 个）。
- 循环性：数值形成一个“模运算”循环，溢出时自然绕回。
因为设计出了“负数的补码等于其对应的正数取反加一后的值”这一定义，“取反加 1”正是为了实现上面的数学目标的数学操作。
补码系统中，正数和零的表示直接就是其二进制值，负数的表示是将其对应的正数的二进制值全部位取反后加 1。数学上，“取反加一”可以用公式表达，假设 \(x > 0\)，令 x 的二进制表示为 \(B(x)\) ，长度为 n 位，取反得到 \(\overline{B(x)}\)，即每一位翻转。负数 -x 的补码表示为：
\[ B(-x) = \overline{B(x)} + 1 \]
更精确地，\(\overline{B(x)}\) 的值是 \((2^n - 1 - x)\)（因为取反后，1 变 0，0 变 1，相当于用最大值减去 x ）。所以： \[ B(-x) = (2^n - 1 - x) + 1 = 2^n - x \]
从数学上看，“取反加 1”确保了负数和正数在加法运算中行为正确，并且满足补码的循环性质。下面对其进行数学分析：
- 实现加法的一致性
补码的目标是让 \(x + (-x) = 0\)，即在补码上的计算行为要和原码相同。正数 \(x\) 的二进制是 \(B(x) = x\)，负数 \(-x\) 的补码是 \(B(-x) = 2^n - x\)。相加： \[ B(x) + B(-x) = x + (2^n - x) = 2^n \] 在 \(n\) 位二进制中，\(2^n\) 是一个溢出，\(2^n = 1 0000 ... 0000\)（第 \(n+1\) 位是 1，后面 \(n\) 位是 0），\(n\) 位寄存器只保留低 \(n\) 位，结果是 \(0000 ... 0000 = 0\)。所以\(x + (-x) = 0\) 成立，这是“取反加 1”的直接结果。
- 实现循环性质（模运算）
补码系统本质上是对 \(2^n\) 取模的运算，任何加法结果超过 \(2^n\)，会减去 \(2^n\)（溢出丢弃），负数 \(-x\) 表示为 \(2^n - x\)，正好是模 \(2^n\) 下的等价值： \[ -x \equiv 2^n - x \pmod{2^n} \] 这种循环靠 \(2^n - x\) 实现，而“取反加 1”正好计算出 \(2^n - x\)。
- 单一零表示
\(x = 0\)，取反：\(1111 ... 1111 = 2^n - 1\)，加 1：\(2^n - 1 + 1 = 2^n\)，模 \(2^n\) 后是 0。所以，\(B(-0) = B(0)\)，零只有一种表示。
“取反”计算 \(2^n - 1 - x\)，加 1 变成 \(2^n - x\)，这些都是简单的位操作，所以在硬件上只需实现反转器和加法器。
\(n\) 位补码表示 \([-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]\)，正好 \(2^n\) 个值，无浪费。如果使用原码，+0 和 -0 都表示 0 ，将浪费一个位置。
补码系统 就像一个圆环，数值在 \([0, 2^n - 1]\) 内循环。当计算 \(x + (2^n - x) = 2^n\)，\(2^n\) 超出 \(n\) 位寄存器的范围（最大值是 \(2^n - 1\)）。硬件自动丢弃溢出位：\(2^n = 1 0000 ... 0000\)（第 \(n+1\) 位为 1），低 \(n\) 位是 \(0000 ... 0000 = 0\)。硬件不需要特殊逻辑，加法溢出自动归零。如果是原码计算，x 和 -x 的原码相加需要特殊的硬件处理逻辑。
\(2^n - x\) 让数值形成圆环，溢出自动绕回： \[ 2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1} = 2^{n} - 2^{n-1} = -2^{n-1} \] \[ -2^{n-1} - 1 = 2^{n} - 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} - 1 \]
硬件进行补码计算之后，如果计算的结果是负数，只要对计算结果再次进行“取反加一”的操作，就可以得到其绝对值，再加上符号判断，即可得出正确实际结果。其数学原理在于：负数 \(-x\) 的补码是 \(2^n - x\)，对 \(2^n - x\) 取反加 1：
\[ \overline{2^n - x} + 1 = (x - 1) + 1 = x \] 逆转了生成补码的过程（\(B(-x) = \overline{B(x)} + 1\)）。
补码系统的核心思想是设计一套机制，将数学上的有符号整数范围 \([-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]\) 映射到无符号整数范围 \([0, 2^n - 1]\)。补码的核心是设计一种“编码”，让负数、正数在二进制世界里用统一的规则运算，结果和数学一致。