补码系统计算一致性的数学推导
补码系统设计了一套机制，将数学上的有符号整数范围 \([-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]\) 映射到无符号整数范围 \([0, 2^n - 1]\)。映射后，映射后，所有的算术运算（加法、减法等）在无符号二进制运算下，结果等价于有符号整数的数学运算。
补码的核心是设计一种“编码”，让负数、正数在二进制世界里用统一的规则运算，结果和数学一致。
在这种映射规则下，对于正数和零（\(x \geq 0\)），直接用二进制表示，最高位为 0，即\(B(x) = x\)，范围：\([0, 2^{n-1} - 1]\)。对于负数（\(x < 0\)），负数 \(-x\)（其中 \(x > 0\)）映射为：\(B(-x) = 2^n - x\)，范围：\([-2^{n-1}, -1]\)，整个范围正好覆盖 \([0, 2^n - 1]\)，共 \(2^n\) 个值，无浪费。
对于任意有符号整数 \(k \in [-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]\)：
如果 \(k \geq 0\)： \[ B(k) = k \] 如果 \(k < 0\)： \[ B(k) = 2^n + k \] 因为 \(k = -x\)（\(x > 0\)），所以： \[ B(-x) = 2^n - x = 2^n + (-x) \] 这一映射确保：
每个有符号整数 \(k\) 对应唯一的无符号值 \(B(k) \in [0, 2^n - 1]\)。
反过来，每个无符号值 \(u \in [0, 2^n - 1]\) 对应一个有符号整数。
补码的映射不仅覆盖了范围，还保证了运算（特别是加法、减法）在无符号二进制下的结果与有符号整数的数学运算一致。
对于有符号整数加法，有\(x + (-x) = 0\)，在补码系统中，正数被设计为\(B(x) = x\)，负数被设计为\(B(-x) = 2^n - x\)，相加： \[ B(x) + B(-x) = x + (2^n - x) = 2^n \] 在 \(n\) 位硬件中，\(2^n = 1 0000 ... 0000\)（第 \(n+1\) 位为 1），寄存器只保留低 \(n\) 位：\(0000 ... 0000 = 0\)。从模 \(2^n\) 视角看： \[ 2^n \equiv 0 \pmod{2^n} \] 所以： \[ x + (2^n - x) \equiv 0 \pmod{2^n} \] 对于任意任意 \(a, b \in [-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]\)，计算 \(a + b\)，结果 \(s\)，补码映射： \[ B(a) + B(b) \mod 2^n = B(s) \] 如果 \(s\) 在范围内，结果正确；如果溢出，模 \(2^n\) 保证循环性。
对于减法，可以转为加法，\(a - b = a + (-b)\)，\(B(-b) = 2^n - b\)。
硬件用加法器： \[ B(a) + B(-b) = a + (2^n - b) \] 模 \(2^n\) 后得到正确结果。
要保证循环性（溢出处理），补码形成模 \(2^n\) 的圆环，最大正数：\(2^{n-1} - 1 = 0111 ... 1111\)，加 1： \[ 2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1} = 2^n - 2^{n-1} = B(-2^{n-1}) \] 最小负数：\(-2^{n-1} = 1000 ... 0000\)，减 1： \[ 2^n - 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} - 1 \] 溢出时，数值在 \([-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]\) 内循环，硬件无需额外处理。
推导 \(B(a) + B(b) \mod 2^n\) 如何映射到 \(B(a + b)\)：
对于任意 \(a\)： \[ B(a) = \begin{cases} a & \text{if } a \geq 0 \\ 2^n + a & \text{if } a < 0 \end{cases} \] 同理，\(B(b)\) 类似。
计算 \(B(a) + B(b)\)，结果模 \(2^n\)： \[ S = (B(a) + B(b)) \mod 2^n \] \(S\) 是 \(n\) 位寄存器的输出，范围 \([0, 2^n - 1]\)。
需要证明：
如果 \(a + b \in [-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]\)（无溢出），则：\(S = B(a + b)\)
如果 \(a + b\) 溢出（超出范围），则 \(S\) 是模 \(2^n\) 下的正确映射。
假设 \(a + b = s\)（数学和）。
情况 1：\(a \geq 0, b \geq 0\)（正数 + 正数）
补码： \[ B(a) = a, \quad B(b) = b \] 硬件加法： \[ B(a) + B(b) = a + b \] 结果： \[ S = (a + b) \mod 2^n \] 无溢出。如果 \(a + b \leq 2^{n-1} - 1\)（在范围内）：\(S = a + b = B(a + b)\)
正溢出。如果 \(a + b > 2^{n-1} - 1\)（超出正数范围）：\(S = (a + b) \mod 2^n\)。在补码中，这对应负数（圆环循环）。
情况 2：\(a < 0, b < 0\)（负数 + 负数）
补码： \[ B(a) = 2^n + a, \quad B(b) = 2^n + b \] 硬件加法： \[ B(a) + B(b) = (2^n + a) + (2^n + b) = 2^{n+1} + (a + b) \] 结果： \[ S = (2^{n+1} + (a + b)) \mod 2^n \] 因为 \(2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{2^n}\)（因为 \(2^n \mod 2^n = 0\)），所以，\(S = (a + b) \mod 2^n\)。
无溢出。如果 \(-2^{n-1} \leq a + b < 0\)：\(S = 2^n + (a + b) = B(a + b)\)
负溢出。如果 \(a + b < -2^{n-1}\)：\(a + b\) 是负数，模 \(2^n\) 后：\(S = 2^n + (a + b)\)，可能映射到正数（圆环循环）。
情况 3：\(a \geq 0, b < 0\)（正数 + 负数）
补码： \[ B(a) = a, \quad B(b) = 2^n + b \] 硬件加法： \[ B(a) + B(b) = a + (2^n + b) = 2^n + (a + b) \] 结果： \[ S = (2^n + (a + b)) \mod 2^n = (a + b) \mod 2^n \] 无溢出。如果 \(-2^{n-1} \leq a + b \leq 2^{n-1} - 1\)：
如果 \(a + b \geq 0\)： \[ S = a + b = B(a + b) \]
如果 \(a + b < 0\)： \[ S = 2^n + (a + b) = B(a + b) \]
溢出。正溢出（\(a + b > 2^{n-1} - 1\)）或负溢出（\(a + b < -2^{n-1}\)），同前述。
情况 4：\(a < 0, b \geq 0\)（负数 + 正数）
对称于情况 3： \[ B(a) = 2^n + a, \quad B(b) = b \]
\[ S = (2^n + a + b) \mod 2^n = (a + b) \mod 2^n \]
同上，验证无溢出和溢出情况。
根据补码公式的设计，可以得出硬件上“取反加一”的操作。